2.4 이항 분포 (이항분포)
정의 5. 베르누이 실험
Bernoulli 시행은 결과가 상호 배타적이고 성공 또는 실패로 완전히 분류될 수 있는 무작위 실험입니다.
정의 6. 일련의 Bernoulli 실험
연속 베르누이 시행은 베르누이 시행이 독립적으로 여러 번 수행될 때 발생합니다. 성공 확률은 각 시도에서 동일하게 유지됩니다.
예제 2.4-1
사탕무 종자의 발아율은 0.8로 높고 종자의 발아는 성공했다고 한다. 10개의 종자를 심고 한 종자의 발아가 독립적이라고 가정하면 다른 종자의 발아율은 확률 p가 0.8인 베르누이 시행 10회와 동일합니다.
정의 7. 베르누이 거리(베르누이 분포)
X를 다음 정의의 Bernoulli 시행과 관련된 랜덤 변수라고 합니다.
그러면 X의 확률 질량 함수는 다음과 같습니다. 그리고 우리는 이 X가 베르누이 분포를 갖는다고 말할 수 있습니다.
예제 2.4-4
5개의 사탕무 종자를 일렬로 심으면 관찰 가능한 순서는 (1,0,1,0,1)이고, 1, 3, 5번째가 발아하고 나머지 2개는 죽었다. 발아 성공률이 0.8이고 확률이 독립적이라고 가정하면 결과의 확률은 다음과 같습니다.
정의 8. 이항 분포
한 줄의 X를 실제로 발생한 순서가 아니라 Bernoulli 시행의 총 성공 횟수라고 합니다.
각 시도는 독립적이고 성공과 실패의 확률은 각각 p와 q = 1-p이므로 이 사건의 확률은 위와 같습니다. 그런 다음 이러한 이벤트의 확률 함수를 다음과 같이 표현할 수 있으며 이 X가 이항 분포라고 말할 수 있습니다.
n번 시행 중 x번 시행은 언제 발생하는지는 중요하지 않으므로 베르누이 시행 전에 조합을 추가하는 것이 포인트입니다.
예제 2.4-5
당첨 확률이 20%인 즉석 복권의 경우 n번 구매 중 당첨된 숫자를 X라고 합니다. 두 장의 복권을 살 확률은 다음과 같습니다.
예제 2.4-7
X가 10번의 독립적인 시도에서 발아된 종자의 수인 경우 해당 시도는 10번의 시도에 대한 성공 확률이 0.8인 이항 분포입니다. 그러면 확률 함수는 다음과 같습니다.
P(X<=8) ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass P(Y>=2) 씨앗이 2개 미만인 씨앗은 발아하지 않습니다.
주석. 이항 분포의 mgf(이항 분포의 적률 생성 함수)
주석. Bin(n,p)의 평균과 분산
